拆 $\sum$ 后面的部分：

$\Large =\frac{1}{4\times i^2-1}$

$\Large =\frac{1}{2\times 2\times i^2-1}$

$\Large =\frac{1}{(2\times i)^2-1^2}$

$\Large =\frac{1}{(2\times i+1)\times (2\times i-1)}$

再看 $\sum$ 。

原式 $=$

$\Large \frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{3\times 5}+\dots +\frac{1}{(2\times n+1)\times (2\times n-1)}$

裂项即可。

最终答案 $\large =\frac{n}{2\times n+1}$